Piecewise-defined Functions

သင်္ချာလို့ ပြောလိုက်ရင် ရှုပ်ထွေးတဲ့ Formula တွေ၊ လက်တွေ့နဲ့ အလှမ်းဝေးတဲ့ တွက်ချက်မှုတွေကိုပဲ ပြေးမြင်တတ်ကြပါတယ်။ ဒါပေမဲ့ ကျွန်တော်တို့ရဲ့ နေ့စဉ်ဘဝထဲမှာ သင်္ချာက အမြဲတမ်းရှိနေတယ်ဆိုတာကို ဒီနေ့ Piecewise-defined Function (အပိုင်းအလိုက် သတ်မှတ်ထားသော ဖန်ရှင်) တွေနဲ့အတူ လေ့လာကြည့်ကြရအောင်။ Piecewise-defined Function ဆိုတာဘာလဲ။ ရိုးရှင်းစွာပြောရရင်တော့ ဒါဟာ ဖန်ရှင်တစ်ခုကို အပိုင်းလေးတွေခွဲပြီး အပိုင်းတစ်ခုချင်းစီအတွက် မတူညီတဲ့ ပုံသေနည်းတွေနဲ့ သတ်မှတ်ဖော်ပြထားတဲ့ ဖန်ရှင်အမျိုးအစားတစ်ခု ဖြစ်ပါတယ်။ Interval (ကြားကာလ) အလိုက် သူ့ရဲ့ ပုံသေနည်းက ပြောင်းလဲသွားမှာပါ။ နားလည်အလွယ်ဆုံး ဥပမာတစ်ခုကတော့ Absolute Value Function ဖြစ်တဲ့ $y = |x|$ ပါပဲ။ $$|x| = \begin{cases} x, & \text{if } x \ge 0 \\ -x, & \text{if } x < 0 \end{cases}$$ ဒီ Function မှာ $x$ ရဲ့တန်ဖိုးက အပေါင်း (သို့) သုညဖြစ်နေချိန်မှာ ပုံသေနည်းက $y=x$ ဖြစ်ပြီး၊ $x$ ရဲ့တန်ဖိုးက အနုတ်ဖြစ်သွားတဲ့အခါမှာတော့ $y = -x$ ဆိုပြီး ပုံသေနည်းပြောင်းသွားတာကို တွေ့ရမှာပါ။ ကဲ… ဒါကတော့ သင်္ချာသဘောတရားပေါ့။ ကျွန်တော်တို့ရဲ့ လက်တွေ့ဘဝထဲမှာရော Piecewise-defined Function တွေကို ဘယ်နေရာမှာ တွေ့နိုင်မလဲ။ ဥပမာ ၁ - စာအုပ်ဝယ်ယူခြင်း သင်ဟာ စာအုပ်ဆိုင်တစ်ဆိုင်မှာ စာအုပ်သွားဝယ်တယ်ဆိုပါစို့။ ဆိုင်ရဲ့ ရောင်းဈေးမူဝါဒက အခုလိုရှိပါတယ်။ * ၁ အုပ်ကနေ ၉ အုပ်အထိ ဝယ်ရင် တစ်အုပ်ကို ၃,၀၀၀ ကျပ်။ * ၁၀ အုပ်ကနေ အုပ် ၁၀၀ အထိ ဝယ်ရင် တစ်အုပ်ကို ၂,၈၀၀ ကျပ်။ * အုပ် ၁၀၀ အထက် ဝယ်ရင်တော့ တစ်အုပ်ကို ၂,၅၀၀ ကျပ်။ ဒီအခြေအနေကို Piecewise-defined Function အဖြစ် ဘယ်လိုတည်ဆောက်မလဲ ကြည့်ရအောင်။ ဝယ်ယူမယ့် စာအုပ်အရေအတွက်ကို $x$ လို့ သတ်မှတ်လိုက်မယ်ဆိုရင် ကျသင့်ငွေ $f(x)$ ကို အောက်ပါအတိုင်း တွေ့ရမှာပါ။ * ပထမအခြေအနေ (၁ အုပ်မှ ၉ အုပ်): ကျသင့်ငွေက $3000x$ ဖြစ်ပြီး ဒါက $1 \le x < 10$ အတွင်းမှာ မှန်ကန်ပါတယ်။ * ဒုတိယအခြေအနေ (၁၀ အုပ်မှ ၁၀၀ အုပ်): ကျသင့်ငွေက $2800x$ ဖြစ်ပြီး ဒါက $10 \le x \le 100$ အတွင်းမှာ မှန်ကန်ပါတယ်။ * တတိယအခြေအနေ (အုပ် ၁၀၀ အထက်): ကျသင့်ငွေက $2500x$ ဖြစ်ပြီး ဒါက $x > 100$ အတွက် မှန်ကန်ပါတယ်။ ဒီအချက်အလက်တွေကို စုစည်းပြီး Function တစ်ခုအဖြစ် ရေးလိုက်တဲ့အခါမှာတော့… $$ f(x) = \begin{cases} 3000x, & \text{if } 1 \le x < 10 \\ 2800x, & \text{if } 10 \le x \le 100 \\ 2500x, & \text{if } x > 100 \end{cases}$$ ဥပမာ ၂ - ပန်းခြံထဲက ကားများ ပန်းခြံတစ်ခုကို မနက် ၈ နာရီမှာ ဖွင့်ပါတယ်။ * မနက် ၈:၀၀ ကနေ ၈:၂၀ အထိ (မိနစ် ၂၀ အတွင်း) ကားတွေဟာ တစ်မိနစ်ကို ၈ စီးနှုန်းနဲ့ ဝင်ရောက်ပါတယ်။ * မနက် ၈:၂၀ ကျော်သွားရင်တော့ ယာဉ်ကြောကျပ်တည်းမှုကြောင့် တစ်မိနစ်ကို ၂ စီးနှုန်းနဲ့ပဲ ဝင်ရောက်နိုင်ပါတော့တယ်။ အချိန် ($t$) မိနစ် ကြာပြီးနောက်မှာ ပန်းခြံထဲမှာရှိနေမယ့် စုစုပေါင်းကားအစီးရေ $S(t)$ ကို Function အဖြစ် တည်ဆောက်ကြည့်ရအောင်။ * ပထမ မိနစ် ၂၀ အတွင်း ($t \le 20$): တစ်မိနစ်ကို ၈ စီးနှုန်းနဲ့ ဝင်တာမို့ ကားအစီးရေဟာ $8t$ ဖြစ်ပါမယ်။ * မိနစ် ၂၀ ကျော်သွားတဲ့အခါ ($t > 20$): * ပထမ မိနစ် ၂၀ မှာ ဝင်ပြီးသား ကားအစီးရေက $8 \times 20 = 160$ စီး ရှိနှင့်ပြီးသားပါ။ * မိနစ် ၂၀ နောက်ပိုင်းမှာ တစ်မိနစ်ကို ၂ စီးနှုန်းနဲ့ ဝင်တဲ့ ကားအရေအတွက်က $2(t-20)$ ဖြစ်ပါမယ်။ * ဒါကြောင့် စုစုပေါင်းကားအစီးရေက ရှိပြီးသား ၁၆၀ စီးနဲ့ နောက်ထပ်ဝင်လာတဲ့ ကားတွေကို ပေါင်းရမှာဖြစ်လို့ $160 + 2(t-20)$ ဖြစ်သွားပါမယ်။ ဒါကို Function အဖြစ် ဖော်ပြမယ်ဆိုရင်... $$ S(t) = \begin{cases} 8t, & \text{if } t \le 20 \\ 160 + 2(t-20), & \text{if } t > 20 \end{cases}$$ ဥပမာ ၃ - လျှပ်စစ်မီတာခ တွက်ချက်ခြင်း ဒါကတော့ ကျွန်တော်တို့အားလုံးနဲ့ အနီးစပ်ဆုံး ဥပမာတစ်ခုပါ။ အိမ်သုံးမီတာခတွေကို ယူနစ်အလိုက် ဈေးနှုန်းအဆင့်ဆင့်နဲ့ ကောက်ခံပါတယ်။ * 1 ယူနစ် မှ 50 ယူနစ်အတွင်း: တစ်ယူနစ်လျှင် ၅၀ ကျပ်။ * 51 ယူနစ် မှ 100 ယူနစ်အတွင်း: တစ်ယူနစ်လျှင် ၁၀၀ ကျပ်။ * 101 ယူနစ် မှ 200 ယူနစ်အတွင်း: တစ်ယူနစ်လျှင် ၁၅၀ ကျပ်။ * 201 ယူနစ်နှင့်အထက်: တစ်ယူနစ်လျှင် ၃၀၀ ကျပ်။ သုံးစွဲတဲ့ယူနစ်ကို $u$ လို့ သတ်မှတ်လိုက်ရင် ကျသင့်ငွေ $C(u)$ ကို အောက်ပါအတိုင်း အဆင့်ဆင့် တွက်ချက်နိုင်ပါတယ်။ * $1 \le u \le 50$: ကျသင့်ငွေက ရိုးရှင်းစွာ $50u$ ပါ။ * $51 \le u \le 100$: ပထမ ယူနစ် ၅၀ အတွက် $50 \times 50 = 2500$ ကျပ် ကျသင့်ပြီးသားပါ။ ၅၀ ကျော်လာတဲ့ ယူနစ်တွေ ($u-50$) ကိုတော့ တစ်ယူနစ် ၁၀၀ ကျပ်နဲ့ တွက်မှာမို့ စုစုပေါင်း $2500 + 100(u-50)$ ကျသင့်ပါမယ်။ * $101 \le u \le 200$: ပထမ ယူနစ် ၁၀၀ အတွက် (ယူနစ် ၅၀ အတွက် ၂,၅၀၀ + နောက်ထပ် ယူနစ် ၅၀ အတွက် ၅,၀၀၀) စုစုပေါင်း ၇,၅၀၀ ကျပ် ကျသင့်ပြီးသားပါ။ ၁၀၀ ကျော်လာတဲ့ ယူနစ်တွေ ($u-100$) ကိုတော့ တစ်ယူနစ် ၁၅၀ ကျပ်နဲ့ တွက်မှာမို့ စုစုပေါင်း $7500 + 150(u-100)$ ကျသင့်ပါမယ်။ * $u \ge 201$: ပထမ ယူနစ် ၂၀၀ အတွက် (ယူနစ် ၁၀၀ အထိ ၇,၅၀၀ + နောက်ထပ် ယူနစ် ၁၀၀ အတွက် ၁၅,၀၀၀) စုစုပေါင်း ၂၂,၅၀၀ ကျပ် ကျသင့်ပြီးသားပါ။ ၂၀၀ ကျော်လာတဲ့ ယူနစ်တွေ ($u-200$) ကိုတော့ တစ်ယူနစ် ၃၀၀ ကျပ်နဲ့ တွက်မှာမို့ စုစုပေါင်း $22500 + 300(u-200)$ ကျသင့်ပါမယ်။ ဒီတော့ ကျွန်တော်တို့ရဲ့ လျှပ်စစ်မီတာခ တွက်ချက်တဲ့ Function ကတော့… $$ C(u) = \begin{cases} 50u, & \text{if } 1 \le u \le 50 \\ 2500 + 100(u-50), & \text{if } 51 \le u \le 100 \\ 7500 + 150(u-100), & \text{if } 101 \le u \le 200 \\ 22500 + 300(u-200), & \text{if } u \ge 201 \end{cases}$$ နိဂုံး Piecewise-defined Function ဆိုတာ စာသင်ခန်းထဲမှာပဲ ရှိနေတဲ့ အရာတစ်ခုမဟုတ်ပါဘူး။ ကျွန်တော်တို့ရဲ့ နေ့စဉ်ဘဝထဲက ယာဉ်အသွားအလာ စီမံခန့်ခွဲမှုတွေကနေ အိမ်သုံးမီတာခ တွက်ချက်တဲ့အထိ နေရာတော်တော်များများမှာ အသုံးဝင်နေတာကို တွေ့နိုင်ပါတယ်။ သင်္ချာဟာ ကျွန်တော်တို့ ပတ်ဝန်းကျင်က ကမ္ဘာကြီးကို ပိုပြီး နားလည်စေဖို့ ကူညီပေးတဲ့ ဘာသာရပ်တစ်ခုဆိုတာ ဒီဥပမာတွေက သက်သေပါပဲ။