Naing Wai Yan Tun's Maths

Exercise 1.1

1. Solve the following equations.

(a) Solution

$$ x^2 - 6x + 10 = 0 $$ $$ x^2 - 6x + 9 = -1 $$ $$ (x - 3)^2 = i^2 $$ $$ x - 3 = \pm i $$ $$ x = 3 \pm i $$

So there are two solutions: $ x = 3 + i $ and $ x = 3 - i $.

(b) Solution

$$ -2x^2 + 4x - 3 = 0 $$ $$ x^2 - 2x + \frac{3}{2} = 0 $$ $$ x^2 - 2x + 1 = -\frac{1}{2} $$ $$ (x - 1)^2 = \frac{1}{2}i^2 $$ $$ x - 1 = \pm \sqrt{\frac{1}{2}}i $$ $$ x = 1 \pm \frac{\sqrt{2}}{2}i $$

So there are two solutions: $ x = 1 + \frac{\sqrt{2}}{2}i $ and $ x = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2}i $.

(c) Solution

$$ 5x^2 - 2x + 1 = 0 $$ $$ x^2 - \frac{2}{5}x + \frac{1}{5} = 0 $$ $$ x^2 - \frac{2}{5}x + \frac{1}{25} = -\frac{4}{25} $$ $$ (x - \frac{1}{5})^2 = \frac{4}{25}i^2 $$ $$ x - \frac{1}{5} = \pm \frac{2}{5}i $$ $$ x = \frac{1}{5} \pm \frac{2}{5}i $$

So there are two solutions: $ x = \frac{1}{5} + \frac{2}{5}i $ and $ x = \frac{1}{5} - \frac{2}{5}i $.

(d) Solution

$$ 3x^2 + 7x + 5 = 0 $$ $$ x^2 + \frac{7}{3}x + \frac{5}{3} = 0 $$ $$ x^2 + \frac{7}{3}x + \frac{49}{36} = -\frac{11}{36} $$ $$ (x + \frac{7}{6})^2 = \frac{11}{36}i^2 $$ $$ x + \frac{7}{6} = \pm \frac{\sqrt{11}}{6}i $$ $$ x = -\frac{7}{6} \pm \frac{\sqrt{11}}{6}i $$

So there are two solutions: $ x = -\frac{7}{6} + \frac{\sqrt{11}}{6}i $ and $ x = -\frac{7}{6} - \frac{\sqrt{11}}{6}i $.

2. Solve the following equations and check your answers.

(a) Solution

$$x^2 - 2x + 4 = 0$$ $$x^2 - 2x + 1 = -3$$ $$(x - 1)^2 = 3i^2$$ $$x - 1 = \pm \sqrt{3}i$$ $$x = 1 \pm \sqrt{3}i$$

So the two solutions are $ x = 1 + \sqrt{3}i $ and $ x = 1 - \sqrt{3}i $.

For $x = 1 + \sqrt{3}i$,

$(1 + \sqrt{3}i)^2 - 2(1 + \sqrt{3}i) + 4$

$= (1 + 2\sqrt{3}i - 3) - 2 - 2\sqrt{3}i + 4$

$= -2 - 2 + 4 = 0$

For $x = 1 - \sqrt{3}i$,

$(1 - \sqrt{3}i)^2 - 2(1 - \sqrt{3}i) + 4$

$= (1 - 2\sqrt{3}i - 3) - 2 + 2\sqrt{3}i + 4$

$= -2 - 2 + 4 = 0$

(b) Solution

$$x^2 - 4x + 5 = 0$$ $$x^2 - 4x + 4 = -1$$ $$(x - 2)^2 = i^2$$ $$x - 2 = \pm i$$ $$x = 2 \pm i$$

So the two solutions are $ x = 2 + i $ and $ x = 2 - i $.

For $x = 2 + i$,

$(2+i)^2 - 4(2+i) + 5$

$= (4 + 4i - 1) - 8 - 4i + 5$

$= 3 - 8 + 5 = 0$

For $x = 2 - i$,

$(2-i)^2 - 4(2-i) + 5$

$= (4 - 4i - 1) - 8 + 4i + 5$

$= 3 - 8 + 5 = 0$

3. Find the value of $i^n$ for every positive integer $n$.

Solution (Method 1)

The powers of $i$ follow a repeating cycle. We can find this pattern by calculating the first few powers step-by-step, using the definition $i^2 = -1$.

Step 1: Calculate $i^2$.
$i^2 = -1$ (by definition)
Step 2: Calculate $i^3$.
$i^3 = i^2 \cdot i = (-1) \cdot i = -i$
Step 3: Calculate $i^4$.
$i^4 = i^2 \cdot i^2 = (-1)(-1) = 1$
Step 4: Calculate $i^5$.
$i^5 = i^4 \cdot i = (1) \cdot i = i$

The pattern $i, -1, -i, 1$ begins to repeat. This means the value of $i^n$ depends on which category the exponent $n$ falls into. We can express this using an integer $k$.

If $n$ is of the form $4k+1$ (e.g., 1, 5, 9,...), then $i^n = i$. (for $k \ge 0$)
If $n$ is of the form $4k+2$ (e.g., 2, 6, 10,...), then $i^n = -1$. (for $k \ge 0$)
If $n$ is of the form $4k+3$ (e.g., 3, 7, 11,...), then $i^n = -i$. (for $k \ge 0$)
If $n$ is of the form $4k$ (e.g., 4, 8, 12,...), then $i^n = 1$. (for $k \ge 1$)

This can be written as a piecewise-defined function where $k$ is an integer satisfying the conditions above:

$$ i^n = \begin{cases} i & \text{if } n = 4k+1 \\ -1 & \text{if } n = 4k+2 \\ -i & \text{if } n = 4k+3 \\ 1 & \text{if } n = 4k \end{cases} $$

Solution (Method 2: )

An alternative method is to consider whether the exponent $n$ is even or odd.

If $n$ is an even integer, we can write $n=2k$. Then $i^n = i^{2k} = (i^2)^k = (-1)^k$. Since $k=\frac{n}{2}$, this gives $i^n = (-1)^{\frac{n}{2}}$.

If $n$ is an odd integer, we can write $n=2k+1$. Then $i^n = i^{2k+1} = i^{2k} \cdot i = (-1)^k \cdot i$. Since $k=\frac{n-1}{2}$, this gives $i^n = (-1)^{\frac{n-1}{2}}i$.

This can be summarized in the following piecewise-defined function:

$$ i^n = \begin{cases} (-1)^{\frac{n}{2}} & \text{if } n \text{ is even} \\ (-1)^{\frac{n-1}{2}}i & \text{if } n \text{ is odd}\end{cases}$$

Views

Axis of Symmetry နှင့် ဖြတ်မှတ်နှစ်မှတ် ပေးထားသော Parabola ပုစ္ဆာများ

Axis of symmetry နှင့် Parabola ပုစ္ဆာ

၁။ Axis of symmetry ကို ကြည့်၍ ညီမျှခြင်းကို $y^2$ သို့မဟုတ် $x^2$ ဟု ခွဲခြားနိုင်ပါသည်။

$y = k$ ဖြစ်လျှင်

$(y - k)² = \pm4p (x - h)$ ဖြစ်မည်။

$x= h$ ဖြစ်လျှင်

$(x - h)² = \pm4p (y - k)$ ဖြစ်မည်။

၂။ ညီမျှခြင်း မှ $\pm$ ကို ဆုံးဖြတ်ရန်အတွက် ပေးရင်း အမှတ် နှစ်မှတ်ကို အသုံးပြုပါမည်။

ဝင်ရိုး (Axis of Symmetry) မှ ဝေးရာသို့ ရွေ့လျားလေလေ၊ Parabola သည် ၎င်း၏ ဖွင့်သည့်ဘက်သို့ ပို၍ ရွေ့လျားသွားလေလေ ဖြစ်သည်။

$(y - k)² = \pm4p (x - h)$ အတွက်

ဝင်ရိုး Axis of symmetry မှ အဝေးဆုံးအမှတ် တွင် $x$ တန်ဖိုး ပိုငယ်နေလျှင် Parabola opens to the left ,

Equation: $(y - k)² = -4p (x - h)$.

ဝင်ရိုး Axis of symmetry မှ အဝေးဆုံးအမှတ် တွင် $x$ တန်ဖိုး ပိုကြီးနေလျှင် Parabola opens to the right ,

Equation: $(y - k)² = 4p (x - h)$.

$(x - h)² = \pm 4p (y - k)$ အတွက်

ဝင်ရိုး Axis of symmetry မှ အဝေးဆုံးအမှတ် တွင် $y$ တန်ဖိုး ပိုငယ်နေလျှင် Parabola opens down ,

Equation: $(x - h)² = -4p (y - k)$.

ဝင်ရိုး Axis of symmetry မှ အဝေးဆုံးအမှတ် တွင် $y$ တန်ဖိုး ပိုကြီးနေလျှင် Parabola opens up ,

Equation: $(x - h)² = 4p (y - k)$.

Examples

Find an equation of the parabola satisfying the given conditions.

(1) Axis : $y = 0$ passes through $(3, 2)$ and $(2, -3)$

Thinking

-3 သည် Axis of Symmetry: $y = 0$ မှ အဝေးဆုံးအမှတ်ဖြစ်ပြီး $x$ တန်ဖိုးမှာ ငယ်သည်။ ထို့ကြောင့် Parabola opens to the left ဖြစ်သည်။

Equation: $(y - k)² = -4p (x - h)$ ကို အသုံးပြုရမည်။

(2) Axis : $x = 0$ passes through $(2, -1)$ and $(-4, 5)$

Thinking

-4 သည် Axis of Symmetry: $x = 0$ မှ အဝေးဆုံးအမှတ်ဖြစ်ပြီး $y$ တန်ဖိုးမှာ ကြီးသည်။ ထို့ကြောင့် Parabola opens up ဖြစ်သည်။

Equation: $(x - h)² = 4p (y - k)$. ကို အသုံးပြုရမည်။

(3) Axis : $y = 1$ passes through $(-4, -2)$ and $(-3, -4)$

Thinking

-4 သည် Axis of Symmetry: $y = 1$ မှ အဝေးဆုံးအမှတ်ဖြစ်ပြီး $x$ တန်ဖိုးမှာ ကြီးသည်။ ထို့ကြောင့် Parabola opens to the right ဖြစ်သည်။

Equation: $(y - k)² = 4p (x - h)$ ကို အသုံးပြုရမည်။

Views

Piecewise-defined Functions

သင်္ချာလို့ ပြောလိုက်ရင် ရှုပ်ထွေးတဲ့ Formula တွေ၊ လက်တွေ့နဲ့ အလှမ်းဝေးတဲ့ တွက်ချက်မှုတွေကိုပဲ ပြေးမြင်တတ်ကြပါတယ်။ ဒါပေမဲ့ ကျွန်တော်တို့ရဲ့ နေ့စဉ်ဘဝထဲမှာ သင်္ချာက အမြဲတမ်းရှိနေတယ်ဆိုတာကို ဒီနေ့ Piecewise-defined Function (အပိုင်းအလိုက် သတ်မှတ်ထားသော ဖန်ရှင်) တွေနဲ့အတူ လေ့လာကြည့်ကြရအောင်။ Piecewise-defined Function ဆိုတာဘာလဲ။ ရိုးရှင်းစွာပြောရရင်တော့ ဒါဟာ ဖန်ရှင်တစ်ခုကို အပိုင်းလေးတွေခွဲပြီး အပိုင်းတစ်ခုချင်းစီအတွက် မတူညီတဲ့ ပုံသေနည်းတွေနဲ့ သတ်မှတ်ဖော်ပြထားတဲ့ ဖန်ရှင်အမျိုးအစားတစ်ခု ဖြစ်ပါတယ်။ Interval (ကြားကာလ) အလိုက် သူ့ရဲ့ ပုံသေနည်းက ပြောင်းလဲသွားမှာပါ။ နားလည်အလွယ်ဆုံး ဥပမာတစ်ခုကတော့ Absolute Value Function ဖြစ်တဲ့ $y = |x|$ ပါပဲ။ $$|x| = \begin{cases} x, & \text{if } x \ge 0 \\ -x, & \text{if } x < 0 \end{cases}$$ ဒီ Function မှာ $x$ ရဲ့တန်ဖိုးက အပေါင်း (သို့) သုညဖြစ်နေချိန်မှာ ပုံသေနည်းက $y=x$ ဖြစ်ပြီး၊ $x$ ရဲ့တန်ဖိုးက အနုတ်ဖြစ်သွားတဲ့အခါမှာတော့ $y = -x$ ဆိုပြီး ပုံသေနည်းပြောင်းသွားတာကို တွေ့ရမှာပါ။ ကဲ… ဒါကတော့ သင်္ချာသဘောတရားပေါ့။ ကျွန်တော်တို့ရဲ့ လက်တွေ့ဘဝထဲမှာရော Piecewise-defined Function တွေကို ဘယ်နေရာမှာ တွေ့နိုင်မလဲ။ ဥပမာ ၁ - စာအုပ်ဝယ်ယူခြင်း သင်ဟာ စာအုပ်ဆိုင်တစ်ဆိုင်မှာ စာအုပ်သွားဝယ်တယ်ဆိုပါစို့။ ဆိုင်ရဲ့ ရောင်းဈေးမူဝါဒက အခုလိုရှိပါတယ်။ * ၁ အုပ်ကနေ ၉ အုပ်အထိ ဝယ်ရင် တစ်အုပ်ကို ၃,၀၀၀ ကျပ်။ * ၁၀ အုပ်ကနေ အုပ် ၁၀၀ အထိ ဝယ်ရင် တစ်အုပ်ကို ၂,၈၀၀ ကျပ်။ * အုပ် ၁၀၀ အထက် ဝယ်ရင်တော့ တစ်အုပ်ကို ၂,၅၀၀ ကျပ်။ ဒီအခြေအနေကို Piecewise-defined Function အဖြစ် ဘယ်လိုတည်ဆောက်မလဲ ကြည့်ရအောင်။ ဝယ်ယူမယ့် စာအုပ်အရေအတွက်ကို $x$ လို့ သတ်မှတ်လိုက်မယ်ဆိုရင် ကျသင့်ငွေ $f(x)$ ကို အောက်ပါအတိုင်း တွေ့ရမှာပါ။ * ပထမအခြေအနေ (၁ အုပ်မှ ၉ အုပ်): ကျသင့်ငွေက $3000x$ ဖြစ်ပြီး ဒါက $1 \le x < 10$ အတွင်းမှာ မှန်ကန်ပါတယ်။ * ဒုတိယအခြေအနေ (၁၀ အုပ်မှ ၁၀၀ အုပ်): ကျသင့်ငွေက $2800x$ ဖြစ်ပြီး ဒါက $10 \le x \le 100$ အတွင်းမှာ မှန်ကန်ပါတယ်။ * တတိယအခြေအနေ (အုပ် ၁၀၀ အထက်): ကျသင့်ငွေက $2500x$ ဖြစ်ပြီး ဒါက $x > 100$ အတွက် မှန်ကန်ပါတယ်။ ဒီအချက်အလက်တွေကို စုစည်းပြီး Function တစ်ခုအဖြစ် ရေးလိုက်တဲ့အခါမှာတော့… $$ f(x) = \begin{cases} 3000x, & \text{if } 1 \le x < 10 \\ 2800x, & \text{if } 10 \le x \le 100 \\ 2500x, & \text{if } x > 100 \end{cases}$$ ဥပမာ ၂ - ပန်းခြံထဲက ကားများ ပန်းခြံတစ်ခုကို မနက် ၈ နာရီမှာ ဖွင့်ပါတယ်။ * မနက် ၈:၀၀ ကနေ ၈:၂၀ အထိ (မိနစ် ၂၀ အတွင်း) ကားတွေဟာ တစ်မိနစ်ကို ၈ စီးနှုန်းနဲ့ ဝင်ရောက်ပါတယ်။ * မနက် ၈:၂၀ ကျော်သွားရင်တော့ ယာဉ်ကြောကျပ်တည်းမှုကြောင့် တစ်မိနစ်ကို ၂ စီးနှုန်းနဲ့ပဲ ဝင်ရောက်နိုင်ပါတော့တယ်။ အချိန် ($t$) မိနစ် ကြာပြီးနောက်မှာ ပန်းခြံထဲမှာရှိနေမယ့် စုစုပေါင်းကားအစီးရေ $S(t)$ ကို Function အဖြစ် တည်ဆောက်ကြည့်ရအောင်။ * ပထမ မိနစ် ၂၀ အတွင်း ($t \le 20$): တစ်မိနစ်ကို ၈ စီးနှုန်းနဲ့ ဝင်တာမို့ ကားအစီးရေဟာ $8t$ ဖြစ်ပါမယ်။ * မိနစ် ၂၀ ကျော်သွားတဲ့အခါ ($t > 20$): * ပထမ မိနစ် ၂၀ မှာ ဝင်ပြီးသား ကားအစီးရေက $8 \times 20 = 160$ စီး ရှိနှင့်ပြီးသားပါ။ * မိနစ် ၂၀ နောက်ပိုင်းမှာ တစ်မိနစ်ကို ၂ စီးနှုန်းနဲ့ ဝင်တဲ့ ကားအရေအတွက်က $2(t-20)$ ဖြစ်ပါမယ်။ * ဒါကြောင့် စုစုပေါင်းကားအစီးရေက ရှိပြီးသား ၁၆၀ စီးနဲ့ နောက်ထပ်ဝင်လာတဲ့ ကားတွေကို ပေါင်းရမှာဖြစ်လို့ $160 + 2(t-20)$ ဖြစ်သွားပါမယ်။ ဒါကို Function အဖြစ် ဖော်ပြမယ်ဆိုရင်... $$ S(t) = \begin{cases} 8t, & \text{if } t \le 20 \\ 160 + 2(t-20), & \text{if } t > 20 \end{cases}$$ ဥပမာ ၃ - လျှပ်စစ်မီတာခ တွက်ချက်ခြင်း ဒါကတော့ ကျွန်တော်တို့အားလုံးနဲ့ အနီးစပ်ဆုံး ဥပမာတစ်ခုပါ။ အိမ်သုံးမီတာခတွေကို ယူနစ်အလိုက် ဈေးနှုန်းအဆင့်ဆင့်နဲ့ ကောက်ခံပါတယ်။ * 1 ယူနစ် မှ 50 ယူနစ်အတွင်း: တစ်ယူနစ်လျှင် ၅၀ ကျပ်။ * 51 ယူနစ် မှ 100 ယူနစ်အတွင်း: တစ်ယူနစ်လျှင် ၁၀၀ ကျပ်။ * 101 ယူနစ် မှ 200 ယူနစ်အတွင်း: တစ်ယူနစ်လျှင် ၁၅၀ ကျပ်။ * 201 ယူနစ်နှင့်အထက်: တစ်ယူနစ်လျှင် ၃၀၀ ကျပ်။ သုံးစွဲတဲ့ယူနစ်ကို $u$ လို့ သတ်မှတ်လိုက်ရင် ကျသင့်ငွေ $C(u)$ ကို အောက်ပါအတိုင်း အဆင့်ဆင့် တွက်ချက်နိုင်ပါတယ်။ * $1 \le u \le 50$: ကျသင့်ငွေက ရိုးရှင်းစွာ $50u$ ပါ။ * $51 \le u \le 100$: ပထမ ယူနစ် ၅၀ အတွက် $50 \times 50 = 2500$ ကျပ် ကျသင့်ပြီးသားပါ။ ၅၀ ကျော်လာတဲ့ ယူနစ်တွေ ($u-50$) ကိုတော့ တစ်ယူနစ် ၁၀၀ ကျပ်နဲ့ တွက်မှာမို့ စုစုပေါင်း $2500 + 100(u-50)$ ကျသင့်ပါမယ်။ * $101 \le u \le 200$: ပထမ ယူနစ် ၁၀၀ အတွက် (ယူနစ် ၅၀ အတွက် ၂,၅၀၀ + နောက်ထပ် ယူနစ် ၅၀ အတွက် ၅,၀၀၀) စုစုပေါင်း ၇,၅၀၀ ကျပ် ကျသင့်ပြီးသားပါ။ ၁၀၀ ကျော်လာတဲ့ ယူနစ်တွေ ($u-100$) ကိုတော့ တစ်ယူနစ် ၁၅၀ ကျပ်နဲ့ တွက်မှာမို့ စုစုပေါင်း $7500 + 150(u-100)$ ကျသင့်ပါမယ်။ * $u \ge 201$: ပထမ ယူနစ် ၂၀၀ အတွက် (ယူနစ် ၁၀၀ အထိ ၇,၅၀၀ + နောက်ထပ် ယူနစ် ၁၀၀ အတွက် ၁၅,၀၀၀) စုစုပေါင်း ၂၂,၅၀၀ ကျပ် ကျသင့်ပြီးသားပါ။ ၂၀၀ ကျော်လာတဲ့ ယူနစ်တွေ ($u-200$) ကိုတော့ တစ်ယူနစ် ၃၀၀ ကျပ်နဲ့ တွက်မှာမို့ စုစုပေါင်း $22500 + 300(u-200)$ ကျသင့်ပါမယ်။ ဒီတော့ ကျွန်တော်တို့ရဲ့ လျှပ်စစ်မီတာခ တွက်ချက်တဲ့ Function ကတော့… $$ C(u) = \begin{cases} 50u, & \text{if } 1 \le u \le 50 \\ 2500 + 100(u-50), & \text{if } 51 \le u \le 100 \\ 7500 + 150(u-100), & \text{if } 101 \le u \le 200 \\ 22500 + 300(u-200), & \text{if } u \ge 201 \end{cases}$$ နိဂုံး Piecewise-defined Function ဆိုတာ စာသင်ခန်းထဲမှာပဲ ရှိနေတဲ့ အရာတစ်ခုမဟုတ်ပါဘူး။ ကျွန်တော်တို့ရဲ့ နေ့စဉ်ဘဝထဲက ယာဉ်အသွားအလာ စီမံခန့်ခွဲမှုတွေကနေ အိမ်သုံးမီတာခ တွက်ချက်တဲ့အထိ နေရာတော်တော်များများမှာ အသုံးဝင်နေတာကို တွေ့နိုင်ပါတယ်။ သင်္ချာဟာ ကျွန်တော်တို့ ပတ်ဝန်းကျင်က ကမ္ဘာကြီးကို ပိုပြီး နားလည်စေဖို့ ကူညီပေးတဲ့ ဘာသာရပ်တစ်ခုဆိုတာ ဒီဥပမာတွေက သက်သေပါပဲ။

Views